Великий драматург родился на Саламине, в день знаменитой победы греков над персами в морском сражении, 23 сентября 480 до н. э., от Мнесарха и Клейто. Родители оказались на Саламине в числе других афинян, бежавших от войска персидского царя Ксеркса. Точная привязка дня рождения Еврипида к победе является приукрашением, которое часто встречается в рассказах античных авторов о великих. Так в Суде сообщается, что мать Еврипида зачала его в то время, когда Ксеркс вторгся в Европу (май, 480 до н. э.), из чего следует, что в сентябре он родиться никак не мог. Надпись на Паросском мраморе определяет год рождения драматурга как 486 до н. э., причем в этой летописи греческой жизни имя драматурга упоминается 3 раза — чаще, чем имя любого царя. По другим свидетельствам дата рождения может быть отнесена к 481 до н. э.
Отец Еврипида был уважаемым и судя по всему богатым человеком, мать Клейто занималась продажей овощей. В детстве Еврипид серьезно занимался гимнастикой, даже выиграл соревнования среди мальчиков и хотел было попасть на Олимпийские игры, но был отвергнут по молодости. Потом занимался рисованием, без особого, впрочем, успеха. Затем стал брать уроки в ораторском искусстве и литературе у Продика и Анаксагора и уроки философии у Сократа. Еврипид собирал книги в библиотеку, а вскоре сам стал писать. Первая пьеса, «Пелиад», вышла на сцену в 455 до н. э., но тогда автор не победил из-за ссоры с судьями. Первый приз за мастерство Еврипид завоевал в 441 до н. э. и с тех пор вплоть до смерти создавал свои творения. Общественная активность драматурга проявилась в том, что он участвовал в посольстве в Сиракузы на Сицилии, видимо поддерживая цели посольства авторитетом писателя, признанного всей Элладой.
Семейная жизнь Еврипида складывалась неудачно. От первой жены, Хлоирины, имел 3 сыновей, но развелся с ней из-за ее супружеской неверности, написав пьесу «Ипполит», где высмеивал сексуальные отношения. Вторая жена, Мелитта, оказалась не лучше первой. Еврипид снискал славу женоненавистника, что давало повод шутить над ним мастеру комедии Аристофану.
В 408 до н. э. великий драматург принял решение покинуть Афины, приняв приглашение македонского царя Архелая. Неизвестно точно, что повлияло на решение Еврипида. Историки склоняются к мысли, что основной причиной явилась если и не травля, то обида ранимой творческой личности на сограждан за непризнание заслуг. Дело в том, что из 92 пьес только 4 были отмечены призами на театральных состязаниях при жизни автора, и одна пьеса посмертно. О популярности драматурга в народе говорит рассказ Плутарха про страшное поражение афинян на Сицилии в 413 до н. э.:
«Их продавали в рабство и ставили на лбу клеймо в виде лошади. Да, были и такие, кому вдобавок к неволе привелось терпеть еще и это. Но даже в такой крайности им приносило пользу чувство собственного достоинства и умение себя держать. Владельцы либо отпускали их на свободу, либо высоко ценили. А некоторых спас Еврипид. Дело в том, что сицилийцы, вероятно, больше всех греков, живущих за пределами Аттики, чтили талант Еврипида. Когда приезжающие доставляли им небольшие отрывки из его произведений, сицилийцы с наслаждением вытверживали их наизусть и повторяли друг другу. Говорят, что в ту пору многие из благополучно возвратившихся домой горячо приветствовали Еврипида и рассказывали ему, как они получали свободу, обучив хозяина тому, что осталось в памяти из его стихов, или как, блуждая после битвы, зарабатывали себе пищу и воду пением песен из его трагедий.»
Архелай выказывал знаменитому гостю почет и демонстративное уважение до такой степени, что знаки расположения явились причиной гибели самого царя. Аристотель в труде «Политика» сообщает о неком Декамнихе, которого выдали для бичевания Еврипиду за нанесенную тому обиду, и этот Декамних в отместку организовал заговор, в результате которого Архелай погиб. Случилось это уже позже смерти самого Еврипида в 406 до н. э. Смерть столь замечательной личности породила легенды, изложенные в Суде:
«Еврипид окончил жизнь в результате заговора Арридея из Македонии и Кратея из Фессалии, поэтов, ревнующих к славе Еврипида. Они подкупили за 10 мин придворного по имени Лисимах, чтобы тот спустил с привязи на Еврипида царских гончих, за которыми следил. Другие говорят, что Еврипид был разорван не псами, но женщинами, когда он ночью спешил на свидание с Кратером, юным любовником Архелая. Третьи утверждают, что он собирался встретиться с Никодикой, женой Арефа.»
Версия про женщин — грубая шутка с намеком на пьесу Еврипида «Вакханки», где обезумевшие женщины разорвали царя. Про любовь престарелого писателя к юношам сообщает Плутарх в «Цитатах». Современная версия более приземленная — организм 75-летнего Еврипида просто не выдержал суровой зимы в Македонии.
Афиняне испросили разрешения захоронить драматурга в родном городе, но Архелай пожелал оставить могилу Еврипида в своей столице, Пелле. Софокл, узнав о смерти драматурга, заставил актеров играть пьесу с непокрытыми головами. Афины поставили в театре статую Еврипида, воздав ему почести после смерти. Плутарх передал легенду: в гробницу Еврипида ударила молния, великое знамение, которого удостоился из знаменитых людей только Ликург.